Winkel zwischen Vektoren

Zeichnen Sie ein zweidimensionales Koordinatensystem und markieren Sie einen beliebigen Punkt $B$, z.B. so:

Zeichnen Sie von Punkt $B$ ausgehend zwei beliebige Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$, so dass einer der beiden Winkel zwischen $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ ein spitzer Winkel ist, z.B. so:

Definition:
Werden zwei Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ von einem Punkt aus gezeichnet, so schließen die zwei Vektoren zwei Winkel ein: $\beta$ und $\delta =360°-\beta$. Der kleinere Winkel ist der Winkel zwischen $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$.

Forschungsauftrag

1. Berechnen Sie zu $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ die jeweiligen Einheitsvektoren ${\overrightarrow{v}}_0$ und ${\overrightarrow{w}}_0$. Zeichnen Sie ${\overrightarrow{v}}_0$ und ${\overrightarrow{w}}_0$ in Ihrem Schaubild ein.
   Tipp 1
   
   
   
2. Zeichnen Sie einen weiteren Vektor von der Spitze von ${\overrightarrow{v}}_0$ zur Spitze von ${\overrightarrow{w}}_0$ ein:
   
   Die drei Vektoren schließen ein Dreieck ein. Begründen Sie, dass dieses Dreieck für $0°<\beta <90°$ keinen rechten Winkel besitzt.
   Lösung 1
3. Da das eingezeichnete Dreieck nicht rechtwinklig ist, kann leider auch keine der trigonometrischen Zusammenhänge zur Berechnung von $\beta$ verwendet werden. Deshalb bedarf es einer Hilfskonstruktion:
   
   Zeigen Sie, dass $\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=cos\left(\beta \right)$ ist.
   Lösung 2
4. Geben Sie einen Term an, der in Abhängigkeit von $cos\left(\beta \right)$ die Länge von $\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|$ bestimmt.
   Tipp 2
   Lösung 3
5. Geben Sie einen Term an, mit dem in Abhängigkeit von $\beta$ die Länge von $\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|$ berechnet werden kann.
   Lösung 4
6. Zeigen Sie, dass ${\left|{\overrightarrow{w}}_0-{\overrightarrow{v}}_0\right|}^2={\left({\overrightarrow{w}}_0-{\overrightarrow{v}}_0\right)}^2$ ist.
   Lösung 5
7. Zeigen Sie, dass ${\left({\overrightarrow{w}}_0-{\overrightarrow{v}}_0\right)}^2$ mit Hilfe von $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ berechnet werden kann. Lösen Sie ihre Gleichung nach $cos\left(\beta \right)$ auf und vereinfachen Sie die andere Seite der Gleichung soweit wie möglich.
   Tipp 3
   Lösung 6
8. Setzen Sie in Ihre Gleichung aus 7. die Vektoren aus 1. ein und berechnen Sie den Winkel $\beta$. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch nachmessen im Schaubild.