Ebenengleichung in Koordinatenform

$E$ ist eine Ebene mit $E: a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=z$ und $P$ ein Punkt.

$\overrightarrow{s}$ ist ein Stützvektor von $E$.

1. Leiten Sie aus der Ebenengleichung von $E$ direkt einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ ab.
   Lösung 1
2. Berechnen die Sie die Länge von ${\overrightarrow{n}}_e=\frac{1}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\overrightarrow{n}$.
   Lösung 2
3. Geben Sie mit Hilfe von $\overrightarrow{s}$ und ${\overrightarrow{n}}_e$ eine Ebenengleichung von $E$ an. In welcher Form liegt die Ebenengleichung vor?
   Lösung 3
4. Begründen Sie, warum sich der Abstand zwischen $P$ und der Ebene $E$ mit $d=\left|\frac{1}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{s}\right)\cdot \overrightarrow{n}\right|$ berechnen lässt wenn $\overrightarrow{n}$ kein Einheitsvektor ist.
   Lösung 4
5. Beschreiben Sie in Worten, welche Umformungen mit jedem Schritt gemacht werden:

   	$\left|\frac{1}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{s}\right)\cdot \overrightarrow{n}\right|$	$\downarrow$
   		Schritt 1	Lösung 5
   $=$	$\left|\frac{1}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\left(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{n}-\overrightarrow{s}\cdot \overrightarrow{n}\right)\right|$	$\downarrow$
   		Schritt 2	Lösung 6
   $=$	$\left|\frac{1}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\left(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{n}-z\right)\right|$	$\downarrow$
   		Schritt 3	Lösung 7
   $=$	$\left|\frac{p_{1}a+p_{2}b+p_{3}c-z}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$	$\downarrow$

Damit ist gezeigt, dass sich im allgemeinen der Abstand von $P$ zu $E$ mit $d=\left|\frac{p_{1}a+p_{2}b+p_{3}c-z}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$ berechnen lässt.