Vektorgeometrie: Abstand Punkt/Ebene (2)

Ebenengleichung in Koordinatenform

E ist eine Ebene mit E a x 1 + b x 2 + c x 3 = z und P ein Punkt.

s ist ein Stützvektor von E .

  1. Leiten Sie aus der Ebenengleichung von E direkt einen Normalenvektor n ab.
    Lösung 1
  2. Berechnen die Sie die Länge von ne = 1 n n .
    Lösung 2
  3. Geben Sie mit Hilfe von s und ne eine Ebenengleichung von E an. In welcher Form liegt die Ebenengleichung vor?
    Lösung 3
  4. Begründen Sie, warum sich der Abstand zwischen P und der Ebene E mit d = 1 n p - s n berechnen lässt wenn n kein Einheitsvektor ist.
    Lösung 4
  5. Beschreiben Sie in Worten, welche Umformungen mit jedem Schritt gemacht werden:
    1 n p - s n
    Schritt 1 Lösung 5
    = 1 n p n - s n
    Schritt 2 Lösung 6
    = 1 n p n - z
    Schritt 3 Lösung 7
    = p1 a + p2 b + p3 c - z a2 + b2 + c2

Damit ist gezeigt, dass sich im allgemeinen der Abstand von P zu E mit d = p1 a + p2 b + p3 c - z a2 + b2 + c2 berechnen lässt.