Vektorgeometrie: Gegenseitige Lage Ebene/Gerade

Vorbereiten des 3D-Modells

Auf der Grundplatte ein Koordinatensystem festlegen (blau = ^ x 1 , grün = ^ x 2 )

Nehmen Sie ein Blatt Papier und fügen es als Ebene E in das Modelle ein, z.B. so:

Forschungsauftrag (1)

  1. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene E .
  2. Wenn in das Modell eine beliebige Geraden g eingefügt wird, wie viele gemeinsame Punkte haben g und E dann?
    Untersuchen Sie alle Möglichkeiten.
    Lösung 1
  3. Beschreiben Sie in Worten zu jeder Möglichkeit die Lage der Geraden zur Ebene.
    Lösung 2
  4. Geben Sie zu jeder Möglichkeit eine Geradengleichung an und fügen Sie die Geraden im Modell ein.

Was bedeutet "gemeinsamer Punkt"?

E :  a⋅x1 + b⋅x2 + c⋅x3 = d ist eine Ebene und g:  x → = p1 p2 p3 + r ⋅ u1 u2 u3 eine Gerade. E und g schneiden sich im Punkt S s1 s2 s3 . Dann ist S ein gemeinsamer Punkt von E und g , wenn ein rS ∈ ℝ existiert, so dass p1 p2 p3 + rS ⋅ u1 u2 u3 = s1 s2 s3 und a⋅s1 + b⋅s2 + c⋅s3 = d ist.

Beispiel:
Es wird eine beliebige Ebene E :  2⋅x1 + 3⋅x2 + 4⋅x3 = 40 und eine beliebige Gerade g:  x → = 3 6 2 + r ⋅ 1 0 0,5 gewählt.

Zufällig ist bekannt, dass Ebene und Gerade den gemeinsamen Punkt S 5 6 3 haben.
Die Überprüfung ergibt: aus 3 6 2 + r ⋅ 1 0 0,5 = 3 6 2 + r 0 0,5r = 3+r 6 2+0,5r = 5 6 3 ⇒ r = 2 und es ist 2⋅5 + 3⋅6 + 4⋅3 = 10 + 18 + 12 = 40

Forschungsauftrag (2)

  1. Finden Sie einen Lösungsweg um die gemeinsamen Punkte einer Geraden der Ebene E rechnerisch zu ermitteln.
    Tipp 1
    Lösung 3
  2. Berechnen Sie die gemeinsamen Punkte Ihrer Geraden und der Ebene E mit dem von Ihnen gefundenen Lösungsweg.
  3. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse am Modell.