Vektorgeometrie: Spurpunkte / Spurgeraden

Ausgangssituation

Die Ebene E 21x1 - 7x2 - 6x3 = 42 wird an den Punkten S1 a1 a2 a3 , S2 b1 b2 b3 und S3 c1 c2 c3 von den Koordinatenachsen durchstoßen. Die Geraden g1 , g2 und g3 sind die Schnittkanten von E und den Koordinatenebenen x1 x3 , x1 x2 und x2 x3 .
(siehe folgende Abbildung)

Forschungsauftrag

  1. Welche Aussagen können Sie über die Koordinaten a1 , ..., a3 , b1 , ..., b3 , c1 , ..., c3 machen?
    Lösung 1
  2. Ermitteln Sie mit Hilfe der Ebenengleichung von E die Koordinaten a1 , ..., a3 , b1 , ..., b3 , c1 , ..., c3 .
    Tipp 1
    Lösung 2
  3. Bestimmen Sie Gleichungen für die Geraden g1 , g2 und g3
    Lösung 3

Spurgeraden und Spurpunkte

Definition:

E ist eine Ebene, g eine Gerade und P ein Punkt, dann

... ist g eine Spurgerade, wenn g die Schnittgerade von E und einer Koordinatenebene ist.

... ist P ein Spurpunkt, wenn P in E und auf einer Koordinatenachse liegt.

Routine

Bestimmen Sie zu jeder angegebenen Ebene sämtliche Spurpunkte und Spurgeraden. Zeichnen Sie die Spurpunkte und Spurgeraden in ein Koordinatensystem und deuten Sie die Ebene an.

  1. E 2x1 + 6x2 + 3x3 = 6
    Lösung 4
  2. E x1 - x2 - x3 = 4
    Lösung 5
  3. E x3 = 0
    Lösung 6
  4. E 3x1 + 5x2 = 15
    Lösung 7

S1 , S2 und S3 sind die Spurpunkte einer Ebene E . Zeichnen Sie die Spurpunkte und die Ebene E in ein Koordinatensystem und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E .

  1. S1 4 0 0 , S2 0 5 0 , S3 0 0 6
    Lösung 8
  2. S1 2 0 0 , S2 0 -6 0 , S3 0 0 7
    Lösung 9

Forschungsauftrag für Experten

S1 a 0 0 , S2 0 b 0 und S3 0 0 c , a,b,c sind die Spurpunkte einer Ebene E .

Dann ist E 1ax1 + 1bx2 + 1cx3 = 1 eine passende Gleichung zu E .

  1. Überprüfen Sie mit einem Beispiel (z.B. aus dem vorhergehenden Abschnitt), dass die Behauptung für das Beispiel gilt.
    Lösung 10
  2. Begründen Sie, dass die Behauptung immer gilt.
    Tipp 2
    Lösung 11