Ausgangssituation

Die Ebene $E: 21x_1-7x_2-6x_3=42$ wird an den Punkten $S_1\left(a_1|a_2|a_3\right)$, $S_2\left(b_1|b_2|b_3\right)$ und $S_3\left(c_1|c_2|c_3\right)$ von den Koordinatenachsen durchstoßen. Die Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ sind die Schnittkanten von $E$ und den Koordinatenebenen $x_1{x}_3$, $x_1{x}_2$ und $x_2{x}_3$.
(siehe folgende Abbildung)

Forschungsauftrag

1. Welche Aussagen können Sie über die Koordinaten $a_1$, ..., $a_3$, $b_1$, ..., $b_3$, $c_1$, ..., $c_3$ machen?
   Lösung 1
2. Ermitteln Sie mit Hilfe der Ebenengleichung von $E$ die Koordinaten $a_1$, ..., $a_3$, $b_1$, ..., $b_3$, $c_1$, ..., $c_3$.
   Tipp 1
   Lösung 2
3. Bestimmen Sie Gleichungen für die Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$
   Lösung 3

Spurgeraden und Spurpunkte

Definition:

$E$ ist eine Ebene, $g$ eine Gerade und $P$ ein Punkt, dann

... ist $g$ eine Spurgerade, wenn $g$ die Schnittgerade von $E$ und einer Koordinatenebene ist.

... ist $P$ ein Spurpunkt, wenn $P$ in $E$ und auf einer Koordinatenachse liegt.

Routine

Bestimmen Sie zu jeder angegebenen Ebene sämtliche Spurpunkte und Spurgeraden. Zeichnen Sie die Spurpunkte und Spurgeraden in ein Koordinatensystem und deuten Sie die Ebene an.

1. $E: 2x_1+6x_2+3x_3=6$
   Lösung 4
2. $E: x_1-x_2-x_3=4$
   Lösung 5
3. $E: x_3=0$
   Lösung 6
4. $E: 3x_1+5x_2=15$
   Lösung 7

$S_1$, $S_2$ und $S_3$ sind die Spurpunkte einer Ebene $E$. Zeichnen Sie die Spurpunkte und die Ebene $E$ in ein Koordinatensystem und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von $E$.

1. $S_1\left(4|0|0\right)$, $S_2\left(0|5|0\right)$, $S_3\left(0|0|6\right)$
   Lösung 8
2. $S_1\left(2|0|0\right)$, $S_2\left(0|-6|0\right)$, $S_3\left(0|0|7\right)$
   Lösung 9

Forschungsauftrag für Experten

$S_1\left(\mathrm{a}|0|0\right)$, $S_2\left(0|\mathrm{b}|0\right)$ und $S_3\left(0|0|\mathrm{c}\right)$, $\mathrm{a,b,c}\in ℝ$ sind die Spurpunkte einer Ebene $E$.

Dann ist $E: \frac{1}{a}{x}_1+\frac{1}{b}{x}_2+\frac{1}{c}{x}_3=1$ eine passende Gleichung zu $E$.

1. Überprüfen Sie mit einem Beispiel (z.B. aus dem vorhergehenden Abschnitt), dass die Behauptung für das Beispiel gilt.
   Lösung 10
2. Begründen Sie, dass die Behauptung immer gilt.
   Tipp 2
   Lösung 11