Ausgangssituation

Auf dem 3D-Modell liegen Punkte in Form eines Dreiecks in einer Ebene, die durch die Gleichung $2x_1+3x_2+4x_3=40$ beschrieben wird.

Die Eckpunkte des Dreiecks werden mit $A$, $B$ und $C$ bezeichnet. $A$ ist dabei der Punkt, der auf der $x_3$ Achse liegt (siehe Abbildung).

Forschungsauftrag

1. Bestimmen Sie die Vektoren $\overrightarrow{p}$, $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$.
2. Wählen Sie einen beliebigen Punkt $P$, für dessen Koordinaten ebenfalls die Gleichung $2x_1+3x_2+4x_3=40$ gilt (siehe folgende Abbildung).
   
   Bestimmen Sie $\mathrm{r,s}\in \mathrm{ℝ}$ mit $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}$.
3. $Q$ ist ein beliebiger Punkt mit dem Ortsvektor $\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\end{array}\right)$ mit $2q_1+3q_2+4q_3=40$. Dann lässt sich $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$ in Abhängigkeit von $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ bestimmen. Begründen Sie warum das so ist.