Vektorgeometrie: Modellieren von Bewegungsabläufe

Vorbereiten des 3D-Modells

Auf der Grundplatte ein Koordinatensystem mit folgenden Eigenschaften festlegen:

$1 LE \hat{=} 1 km$

Szenenbeschreibung

Am Saturn fliegen die beiden Raumschiffe Atlantis und Challenger vorbei.

	Atlantis	Challenger
Zum aktuellen Zeitpunkt befinden sich die Raumschiffe vom Saturn aus gesehen an folgenden Postionen:	$Q (1\| 3)$	$P (12\| -1)$
Die Raumschiffe bewegen sich in folgende Richtungen:	$(\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} -1,25 \\ 3 \end{matrix})$
Dabei haben Sie folgende Geschwindigkeiten:	15 km/s	13 km/s

Platzieren Sie den Saturn und die beiden Raumschiffe im Modell.
Lösung 1
Stellen Sie Gleichungen für die Flugbahnen auf und berechnen Sie den Punkt, an dem sich die Flugbahnen schneiden. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse am Modell.
Verschieben Sie das Raumschiff Atlantis auf seiner Flugbahn an eine neue Position. Bestimmen Sie die Zeit, die das Raumschiff benötigt, um von der Ausgangsposition an die neue Position zu gelangen.
Tipp 1
$t \in ℝ$ ist die Zeit in Sekunden. Die Flugbahnen lassen sich durch folgende Gleichungen in Abhängigkeit von der Zeit angeben:
Atlantis: $\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})$ , $a_{1}, a_{2} \in ℝ$
Challenger: $\vec{x} = (\begin{matrix} 12 \\ -1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$ , $b_{1}, b_{2} \in ℝ$
Bestimmen Sie $a_{1}, a_{2}, b_{1}$ und $b_{2}$ .
Lösung 2
Ermitteln Sie am Modell, ob die beiden Raumschiffe kollidieren. Kollidieren die beiden Raumschiffe nicht, dann bestimmen Sie näherungsweise, die kürzeste Distanz, die die beiden Raumschiffe je annehmen.
Bestätigen Sie rechnerisch Ihre Ergebnisse aus 5.
Lösung 3

Am Saturn fliegen die beiden Raumschiffe Discovery und Endeavour vorbei.

	Discovery	Endeavour
Zum aktuellen Zeitpunkt befinden sich die Raumschiffe vom Saturn aus gesehen an folgenden Postionen:	$Q (5\| 2\| 3)$	$P (3\| 9\| 8)$
Die Raumschiffe bewegen sich in folgende Richtungen:	$(\begin{matrix} 1,5 \\ 2,5 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ -0,4 \\ - \frac{\sqrt{7}}{5} \end{matrix})$
Dabei haben Sie folgende Geschwindigkeiten:	18 km/s	12 km/s

Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen der beiden Raumschiffe nicht schneiden.
Lösung 4
Wie nahe kommen sich die beiden Raumschiffe? Nach welcher Zeit ist der Abstand zwischen den Raumschiffen am geringsten?
Lösung 5
Zu welchem Zeitpunkt befinden sich die beiden Raumschiffe auf einer "Flugebene" parallel zur Ebene $x_{1} x_{2}$ ?
Lösung 6

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2017 Henrik Horstmann/