Vektorgeometrie: Lage von Geraden

Vorbereiten des 3D-Modells

Auf der Grundplatte ein Koordinatensystem mit folgenden Eigenschaften festlegen:

blau $\hat{=} x_{1}$ , grün $\hat{=} x_{2}$
$-4 \leq x_{1} \leq 10 \land -4 \leq x_{2} \leq 10$

Im folgenden Forschungsauftrag sollen verschiedene Geraden im 3D-Modell platziert werden. Gehen Sie dabei wie in folgendem Schaubild vor:

Forschungsauftrag 1

$g_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + p_{1} (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) \land g_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}) + p_{2} (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix})$

Platzieren Sie $g_{1}$ und $g_{2}$ im 3D-Modell und beschreiben Sie in Worten die Lage der beiden Geraden zueinander.
Lösung 1
Berechnen Sie die Anzahl an Lösungen des LGS
$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + p_{1} (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}) + p_{2} (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix})$
Lösung 2
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Lage der Geraden und der Anzahl der Lösungen?
Lösung 3

Forschungsauftrag 2

$g_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 8 \end{matrix}) + p_{1} (\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}) \land g_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ 7 \end{matrix}) + p_{2} (\begin{matrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{matrix})$

Platzieren Sie $g_{1}$ und $g_{2}$ im 3D-Modell und beschreiben Sie in Worten die Lage der beiden Geraden zueinander.
Lösung 4
Berechnen Sie die Anzahl an Lösungen des LGS
$(\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 8 \end{matrix}) + p_{1} (\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ 7 \end{matrix}) + p_{2} (\begin{matrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{matrix})$
Lösung 5
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Lage der Geraden und der Anzahl der Lösungen?
Lösung 6

Forschungsauftrag 3

$g_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + p_{1} (\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}) \land g_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{matrix}) + p_{2} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{matrix})$

Platzieren Sie $g_{1}$ und $g_{2}$ im 3D-Modell und beschreiben Sie in Worten die Lage der beiden Geraden zueinander.
Lösung 7
Berechnen Sie die Anzahl an Lösungen des LGS
$(\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + p_{1} (\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{matrix}) + p_{2} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{matrix})$
Lösung 8
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Lage der Geraden und der Anzahl der Lösungen?
Lösung 9

Forschungsauftrag 4

$g_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) + p_{1} (\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}) \land g_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + p_{2} (\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{matrix})$

Platzieren Sie $g_{1}$ und $g_{2}$ im 3D-Modell und beschreiben Sie in Worten die Lage der beiden Geraden zueinander.
Lösung 10
Berechnen Sie die Anzahl an Lösungen des LGS
$(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) + p_{1} (\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + p_{2} (\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{matrix})$
Lösung 11
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Lage der Geraden und der Anzahl der Lösungen, sowie den Richtungsvektoren?
Lösung 12

Schlussfolgerungen

$g_{1} : \vec{x} = \vec{s_{1}} + p_{1} \cdot \vec{r_{1}} \land g_{2} : \vec{x} = \vec{s_{2}} + p_{2} \cdot \vec{r_{2}}$

Ordnen Sie den Schaubildern entsprechende Aussagen zu. Dazu selektieren Sie eine Aussage und wählen eines der grauen Felder aus, in dem die Aussage eingefügt werden soll:

a)
b)
c)
d)
e)
f)

Lösung 13

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2017 Henrik Horstmann/