Behauptung

Die Geraden $g_1:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+p_1\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ und $g_2:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 3\end{array}\right)+p_2\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ schneiden sich im Punkt $S\left(7|5|6\right)$.

Aufbau des 3D-Modells

Auf der Grundplatte ein Koordinatensystem festlegen (blau $\widehat{=}{x}_1$, grün $\widehat{=}{x}_2$ ):

Stellen Sie die beiden Geraden $g_1$ und $g_2$ im Modell da. Gehen Sie dazu wie im folgenden Beispiel vor:

Hinweis: In der Abbildung ist weder $g_1$, noch $g_2$ dargestellt!

Forschungsauftrag

1. Überprüfen Sie die Behauptung am Modell.
2. Finden Sie einen Wert für $p_1$, sowie für $p_2$, so dass $\overrightarrow{x}$ jeweils der Ortsvektor von $S$ ist?
   Tipp 1
   Lösung 1
3. Es sind $g_3:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 2\end{array}\right)+n\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ und $g_4:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 1\end{array}\right)+m\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ zwei weitere Geraden. Worauf zeigt $\overrightarrow{x}$, wenn er als Ortsvektor interpretiert wird und folgende Gleichung gilt?
   $\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 2\end{array}\right)+n\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 1\end{array}\right)+m\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$
   Lösung 2
4. d) Bestimmen Sie $m$ und $n$, so dass die Gleichung aus 3. gilt.
   Tipp 2
   Lösung 3