Vektorgeometrie: Skalarprodukt

Ausgangssituation

Folgendes Schaubild zeigt die Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} -4 \\ 6 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$

Forschungsauftrag

Welche Form wird von den Vektoren eingeschlossen?
Lösung 1
Welche Aussagen können Sie zu den Seiten, Diagonalen und Winkeln der Form machen?
Lösung 2
Bestimmen Sie die Vektoren, die den Diagonalen entsprechen.
Lösung 3

Schlussfolgerungen

Wenn zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ vom selben Punkt ausgehen, wie groß ist dann der Winkel, den $\vec{a}$ und $\vec{b}$ einschließen, wenn $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ?
Lösung 4

Bringen Sie die einzelnen Umformungsschritte in eine logische Reihenfolge. Dazu selektieren Sie einen Umformungsschritt und wählen eines der grauen Felder aus, in dem der Unmformungsschritt eingefügt werden soll:

a)
b)
c)
d)
e)
	$\|\vec{a} + \vec{b}\| = \|\vec{a} - \vec{b}\|$
$\Rightarrow$
$\Rightarrow$
$\Rightarrow$
$\Rightarrow$
$\Rightarrow$
$\Rightarrow$	$a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$

Lösung 5

Aufbau des 3D-Modells

Auf der Grundplatte ein Koordinatensystem festlegen (blau $\hat{=} x_{1}$ , grün $\hat{=} x_{2}$ ):

Platzieren Sie die Punkte $P (5| 4| 10)$ , $Q (12| 5| 5,5)$ und $S (3| 9| 8)$ :

Forschungsauftrag

Prüfen Sie durch Messen mit dem Geodreieck, ob die Vektoren $\vec{v} = \vec{PQ}$ und $\vec{s} = \vec{PS}$ orthogonal zueinander sind $(\vec{v} ⊥ \vec{s})$ .
Tipp 1
Bestimmen Sie die Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{s}$ .
Lösung 6
Übertragen Sie die Schlussfolgerung aus dem zweidimensionalen Raum (siehe oben) auf den dreidimensionalen Raum und zeigen Sie rechnerisch am Beispiel von $\vec{v}$ und $\vec{s}$ , dass die Bedingung ebenfalls gilt.
Lösung 7

Definition

Das Produkt zweier Vektoren

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + \dots + a_{n} \cdot b_{n}$

heißt Skalarprodukt.

Satz

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind orthogonal zueinander $(\vec{a} ⊥ \vec{b})$ , wenn

$\vec{a} \cdot \vec{b} =$

Ergänzen Sie vorstehende Gleichung.
Lösung 8

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2017 Henrik Horstmann/