Gegeben ist die Gleichung: $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$ Gesucht sind alle $x$ Werte, für die die Gleichung erfüllt ist (Lösungsmenge).

Die verflixten Brüche!

Um die Gleichung zu vereinfachen, sollen zunächst die Brüche „verschwinden“. Dazu werden beide Seiten der Gleichung mit dem gemeinsamen Hauptnenner aller Brüche multipliziert.

$\begin{array}{cccc}-\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{8}x+1& =& 1& |\cdot 8(=\text{Hauptnenner})\\ -12x^2-3x+8& =& 8& \end{array}$

Nach x auflösen

1. Nach $x^2$ auflösen:
   
   $\begin{array}{cccc}\hfill 3x^2-8& =& 4\hfill & |+8\hfill \\ \hfill 3x^2& =& 12\hfill & |÷3\hfill \\ \hfill x^2& =& 4\hfill & \hfill \end{array}$
2. Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Beim Wurzelziehen gibt es zwei Lösungen!
   
   $\begin{array}{ccccccc}\hfill x^2& =& 4\hfill & |\sqrt{ }& & & \\ \hfill x_1& =& \sqrt{4}\hfill & & \hfill x_1& =& 2\hfill \\ \hfill x_2& =& -\sqrt{4}\hfill & & \hfill x_2& =& -2\hfill \end{array}$

Damit hat die Gleichung folgende Lösungsmenge: $L=\left\{-2,2\right\}$

Beispiele

Lösen Sie die quadratischen Gleichungen durch Auflösen nach $x^2$ und Wurzelziehen.

1. $x^2-\frac{7}{12}=-\frac{1}{3}$

   
   $L=\{$   1/4 ; 1/2 -1/4 ; 1/4 -1/2 ; 1/4 -1/2 ; 1/2 -1/2 ; 1/4 $\}$
2. $x^2-8=0$

   
   $L=\{$   -4 ; 4 -√4 ; √4 √8 ; 8 -8 ; 8 -√8 ; √8 $\}$
3. $2x^2-8=x^2+17$

   
   $L=\{$   -√5 ; √5 -5 ; 5 √8 ; √17 8 ; 17 -25 ; 25 $\}$

Ergebnisse prüfen

Aufgabe 1

Gegeben ist die Gleichung:

$x^2+4=0$

1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge für $x$.
2. Begründen Sie schriftlich Ihr Ergebnis.

Lösung 1

Aufgabe 2

Gegeben ist die Gleichung:

$x^2=0$

1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge für $x$.
2. Begründen Sie schriftlich Ihr Ergebnis.

Lösung 2

Ergebnisse

Auflösen der Gleichung $a{x}^2+c=0$ nach $x^2$ ergibt: $x^2=-\frac{c}{a}$.

In welchen Fällen kann die Gleichung gelöst werden?

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